Troisième partie: courbes de Bézier

Les précédentes parties n'ont traité que de liens constitués de lignes droites. Arabeske offre également la possibilité d'utiliser des liens représentés par des courbes de Bézier. En plus de leurs extrémités, ces courbes possèdent deux points de contrôle qui permettent d'ajuster les tangentes aux points extrêmes. Ces courbes sont assez souples d'utilisation, même si elles ne permettent pas tout, en particulier on ne peut pas faire un cercle exact avec des courbes de Bézier.

Liens rectangulaires

Commencer par tracer un lien ordinaire. Ensuite, dans la fenêtre de propriétés du lien, cocher la case « courbe de Bézier ». Quatre champs correspondant aux coordonnées des points de contrôle deviennent alors actifs, tandis que des petites « poignées » permettant de les positionner apparaissent dans la fenêtre de dessin, reliées aux extrémités par des pointillés. Les points de contrôle se règlent de façon totalement indépendante des extrémités.

Liens polaires

L'activation des points de contrôle se fait de la même façon, et leur édition sur la fenêtre graphique est identique. La grande différence réside dans le traitement des points de contrôle. En effet, l'usage de coordonnées rectangulaires n'aurait pas grand sens pour ces points, et l'usage des coordonnées polaires serait également assez ardu. Pour ces raisons, le choix retenu est celui de coordonnées « implicites » appelées (u, v), qui nécessitent quelques explications.

La première coordonnée, u, est dirigée selon le segment tiré entre les extrémités de la courbe. Pour le point « origine », u=0, tandis que pour le point « destination », u=1000. La seconde coordonnée est prise perpendiculairement à la première, v étant obtenu en tournant u de 90° dans le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre. Par ailleurs v=0 pour tout point de la droite passant par les extrémités de la courbe. Enfin, u et v ont la même longueur.

Ce système a deux conséquences principales. Tout d'abord, la modification des points de départ et d'arrivée ne modifie en rien la forme de la courbe. Celle-ci est juste tournée, déplacée, agrandie ou réduite pour suivre le mouvement. Ensuite, ces coordonnées n'ont pas de sens si les extrémités de la courbe sont confondues. Les courbes définies avec des coordonnées rectangulaires peuvent être quelconques, y compris refermées sur elles-mêmes, pas celles définies en coordonnées polaires. Le reste de leur traitement est identique.

Textures

On peut utiliser le système de textures d'Arabeske avec des courbes aussi bien qu'avec des segments, sans autre modification. Toutefois, les calculs d'intersections sont autrement plus complexes, notamment parce que deux courbes de Bézier peuvent avoir jusqu'à neuf points d'intersection. La conséquence la plus visible est un temps de calcul nettement plus long qu'avec des segments.

Cet exemple montre deux courbes ayant 9 points d'intersection, permettant un coloriage avec 8 couleurs différentes.

Par ailleurs, alors que l'intersection de deux segments est déterminée de façon exacte, celle de deux courbes est approchée : il est fortement recommandé d'avoir des intersections bien nettes pour éviter les fuites dans les motifs.

Enfin, même si l'algorithme de recherche de contours d'Arabeske permet de traiter la plupart des cas, il vaut mieux éviter d'avoir des motifs où plusieurs courbes tangentes se rencontrent en un même point. Le cas exceptionnel de deux courbes tangentes et présentant la même courbure en leur point d'intersection (courbes osculatrices) n'est pas traité et donnera des résultats non prévisibles.

Entrelacs

Le tracé d'entrelacs nécessite des opérations de « décalage » des lignes tracées et la détermination d'intersections entre ces décalages. Cette opération ne présente pas de difficulté particulière pour les segments. En revanche, le « décalage » d'une courbe de Bézier n'est pas, dans le cas général, une courbe de Bézier. Il existe une abondante littérature sur des moyens de calcul approché, mais la complexité de l'ensemble et le vaste choix de cas particuliers problématiques fait qu'actuellement, Arabeske n'est pas capable de réaliser une telle opération. Dès que le motif contient une courbe de Bézier, l'option « entrelacs » est donc désactivée.

Export

La particularité d'Arabeske, notamment en matière de textures, est de travailler en permanence sur des descriptions vectorielles internes. Les courbes de Bézier ne sont pas approchées par des segments, et tous les modes d'exportation, aussi bien dans des formats « bitmap » que dans des formats vectoriels, sont donc disponibles.