Groupes de symétries

Isométries planes

Le terme de "symétrie" utilisé dans "groupes de symétries" est en fait réducteur. Mieux vaudrait parler d'isométries, opérations géométriques que nous allons définir.

Une isométrie est une transformation géométrique qui conserve les distances: si F est une isométrie, alors pour tous points M et N du plan, on a:

d(F(M), F(N)) = d(M, N)

Une isométrie transforme une droite en droite, et un cercle en un cercle de même rayon. Dans le plan, on distingue quatre catégories d'isométries:

Les translations, qui déplacent les objets d'une distance constante, toujours dans la même direction.
Les rotations, qui font tourner les objets d'un angle constant autour d'un point fixe (son centre).
Les symétries orthogonales, qui "basculent" les objets autour d'une droite constante (son axe). C'est l'effet d'un miroir.
Les "symétries glissantes", qui combinent une symétrie orthogonale et une translation alignée avec l'axe de la symétrie.

Groupes

Les groupes sont des objets mathématiques très généraux, a priori sans rapport avec la géométrie. C'est une propriété que possèdent certains ensembles quand on leur donne une "loi de composition interne" comme l'addition. Un groupe est un ensemble qui:

• Est stable par sa loi de composition: en composant deux éléments d'un groupe, on trouve toujours un élément du groupe.
• Possède un élément neutre: comme zéro pour l'addition, quand on compose cet élément avec n'importe quel autre, on retrouve l'autre élément.
• Tout élément possède un symétrique, comme l'opposé pour l'addition. Quand on compose un élément avec son opposé, on trouve l'élément neutre.
• La loi est associative: a+(b+c) = (a+b)+c. On n'a donc pas besoin des parenthèses. Par contre la commutativité (a+b = b+a) n'est pas obligatoire.

A quoi ça sert tout ça? A plein de choses, et notamment à faire des arabesques. Prenons par exemple l'ensemble des translations du plan. Cet ensemble est un groupe. Pas très intéressant a priori, mais un groupe quand même. Si on n'en prend qu'une partie, ça ne marchera pas toujours. Autre exemple: l'ensemble des rotations autour de l'origine est un groupe, mais l'ensemble des rotations tout court n'en est pas un, la composée d'une rotation et d'une autre d'angle opposé et de centre différent étant une translation. De même, en composant deux symétries, on ne trouvera jamais une symétrie, mais tantôt une totation, tantôt une translation...

Conséquences pour Arabeske

Notre but est de "paver le plan", autrement dit de trouver un motif qui, une fois translaté, tourné, retourné... ne changera pas globalement. Un damier en est un exemple très simple. A l'intérieur de ce grand motif, on peut isoler un plus petit motif, qui redonne le grand une fois qu'on lui a appliqué toutes les symétries d'un groupe.

On peut démontrer, mais j'en serais bien incapable, qu'il existe en tout et pour tout 17 groupes de symétries du plan. Les neuf premiers ont la caractéristique commune de ne pas avoir des "motifs élémentaires" de taille fixe. C'est pour cette raison qu'ils ne sont pas utilisés ici. Il en reste 8, qui sont décrits ci-dessous, et qui sont les seuls à intégrer des rotations autres que des demi-tours. Les noms exotiques qui sont utilisés par Arabeske sont ceux utilisés notamment en cristallographie géométrique.

A propos de rotations, un petit rappel: on ne peut "paver le plan" avec des polygones réguliers que s'ils ont 3, 4 ou 6 côtés. C'est le sens des chiffres 3, 4 et 6 utilisés pour les nommer. Autrement dit, on ne peut pas paver le plan avec des pentagones ou des heptagones, et les groupes p5 ou p7 n'existent pas. Les pentagones sont très utilisés en architecture islamique, notamment de par leur rapport avec le nombre d'or, mais ils ne permettant pas de paver le plan. Vous remarquerez d'ailleurs que les étoiles à 20, 40 ou 100 branches sont souvent placées au milieu de motifs carrés, et non pentagonaux.

Le tableau suivant décrit les caractéristiques des 8 groupes de symétries utilisables dans Arabeske. Il ne précise pas les translations, et est illustré à l'aide d'un motif permettant de mieux comprendre ce qui se passe: la lettre "P".

Nom du groupe	Caractéristiques	Illustration
p3	3 jeux de centres de rotations d'un tiers de tour
p31m	3 jeux de centres de rotations d'un tiers de tour Des axes de symétrie reliant entre eux les centres "primaires"
p3m1	3 jeux de centres de rotations d'un tiers de tour Des axes de symétrie reliant les centres "primaires" aux autres centres de rotations
p4	2 jeux de centres de rotations d'un quart de tour 1 jeu de centres de rotations d'un demi tour
p4g	1 jeux de centres de rotations d'un quart de tour 1 jeu de centres de rotations d'un demi tour Des axes de symétries glissantes reliant les centres "primaires" Des axes de symétries reliant les centres secondaires
p4m	2 jeux de centres de rotations d'un quart de tour 1 jeu de centres de rotations d'un demi tour Des axes de symétrie reliant les cnetres de rotation d'un quart de tour Des axes de symétrie reliant les centres de rotations d'un quart de tour aux centres de rotation d'un demi tour voisins
p6	1 jeu de centres de rotations d'un sixième de tour 1 jeu de centres de rotations d'un tiers de tour 1 jeu de centres de rotations d'un demi tour
p6m	1 jeu de centres de rotations d'un sixième de tour 1 jeu de centres de rotations d'un tiers de tour 1 jeu de centres de rotations d'un demi tour Des axes de symétries reliant les centres de rotations d'un sixième de tour à tous les centres de rotations voisins

Légende